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標  題: Re: 月球是自然形成的嗎？
發信站: 中山南十字BBS站 (Sat Apr 12 16:23:04 2003)
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以下是向各位網友解釋我之前到底在說什麼.

假設在二維直角座標中有兩個向量,V=(v1,v2), U=(u1,u2),
如果正好v1=u1, v2=u2, 那我們會寫V=U
這V與U其實是同一個向量.

現在,我寫下兩個向量表示式 V=(1,2), U=(2,1)
乍看之下會覺得V與U是兩個不同的向量,但如果我說,這V與U
的表示式,分別是在兩個不同的座標系統中寫出來的,那我怎麼
知道V與U到底是不是同樣的一個向量? 他們看起來不一樣,但
可能只是因為採用的坐標不一樣而已.

要回答這問題,一定要講清楚他們各自是在什麼樣的坐標系統中.
不然這問題永遠沒有答案.

現在我說,V=(1,2)是在一般的直角坐標(x,y)中寫下的,U=(2,1)
是在另一個直角坐標(x',y')中寫下的,且(x',y')與(x,y)的關係
是x'=y, y'=x, 也就是把(x,y)中的x軸與y軸對調,就得到(x',y')

如果我指定這樣的一個坐標,那我們很快就可以判斷V=(1,2)與U=(2,1)
到底是不是同一個向量了. 答案是,是,它們是同一個向量.

在這個例子中,我給定一個(x,y)與(x',y')間的轉換關係(x,y軸對調)
再寫出在這兩個不同坐標系統下的向量表示式,根據這些完整的資訊
我們可以判斷V與U其實是同一個向量.

但,就算V與U是同一個向量,我們卻永遠不可能寫V=U. 因為V=(1,2)
U=(2,1), (1,2)永遠不可能等於(2,1), 雖然它們是同一個向量.

這是為什麼,向量在坐標轉換之下其值會改變,就算我們心知肚明
他們其實是同一個向量,但在數學上,它就是不會是個不變量.

什麼是不變量(invariant)? 不變量是指,在坐標轉換之下,連值都
不改變的. 在上面的例子中,向量在坐標轉換下,其各分量的值變了,
從(1,2)變成(2,1). 但有個東西是不變的,那是向量的長度,在此例
中是根號5,不管是(1,2)還是(2,1),其長度都是根號5.

所以,向量的長度在座標轉換之下是個不變量,其值不變,換句話說,
是個純量.

我們都知道,一個向量再怎麼經坐標轉換都仍是那個向量,這是大家心
知肚明的事. 但數學或物理學可不管你心裡或肚子裡明不明,數字寫
下來才算數. 一個量,在座標轉換之下其數值不變,那就是不變量.
數值變了,就不是不變量. 不變量的定義就這麼簡單.


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